La Circunferencia.

 

Una circunferencia, analíticamente, es una ecuación de segundo grado con dos variables. Ahora bien, no toda ecuación de este tipo representa siempre una circunferencia; solo en determinadas ocasiones es cierto. Una circunferencia queda completamente determinada si se conocen su centro y su radio. También se puede tomar como verdadero que la distancia desde el centro a cualquier punto en la circunferencia es la misma, siendo esta el radio de la ecuación.

La circunferencia es un contorno continuamente curvado, cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto central, llamado centro del círculo. La distancia constante de cualquier punto de la circunferencia se denomina radio.

 

Definición de la Circunferencia

La circunferencia es el lugar geométrico de un punto de coordenadas (x, y) que se mueve sobre un plano, de manera que su distancia permanece constante con relación a un punto fijo de coordenadas (h,k).

El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante se llama  radio (r).

La ecuación de la circunferencia de centro (h, k) y radio r es:
 

 

Su grafica seria:

 

 

Si el centro de la circunferencia esta en el origen de los ejes de coordenada, la ecuación toma la forma:

La cual tendría como gráfica:

 

 

 

La ecuación en su forma general es:                x² + y² + Dx + Ey + F = 0

 

 

 

Ejemplo 1.

Determine la ecuación de la circunferencia con centro en (4,-1)  y radio = 6

Solución:

 

En este caso: h = 4,   k = -1   y   r = 6.

 Al sustituir estos valores en la ecuación:

  Graficando tendriamos:

 

 

 

 

 

Sigue el procedimiento expuesto en el ejemplo anterior para determinar  en su forma general la ecuación de las circunferencias siguientes y  haz en cada caso su grafica:

 C (3,-1)           r = 5                                          C (0,5)            r = 5

C (2,-5)           r = 3                                          C (-3,-2)         r = 5

C (2,-3)           r = 4                                         C (4,3)             r = 3

 

 

• De manera inversa también se puede  obtener la ecuación de la circunferencia a partir de su forma general.

              x² + y² + Dx + Ey + F = 0

 

 

 Ejemplo 1.

Hallar las coordenadas del centro (h, k) y el radio de la circunferencia:

   x² + y² - 3x + 5y -14 = 0

 

Solución:

 

 

Gráfica:

 

EJEMPLOS RESUELTOS

 APLICANDO LAS DIFERENTES FORMAS DE LAS ECUACIONES DE LA RECTA TENEMOS:

 

1. PUNTO PENDIENTE

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, − 4) y que tiene una pendiente de − 1 / 3.

 Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente:

 

2. Dos puntos:

Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos  P₁(4, 3)  y

P₂(–3, –2)

 

Sustituyendo en la ecuación tenemos lo siguiente:

 

3) Simétrica

Hallar la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada en el origen son 5 y -3 respectivamente:

 

Aplicando la ecuación:

tenemos:

 

 

4) General:

Para hayar los elementos de la recta, es decir, su pendiente y sus intersecciones con los ejes coordenados a partir de la forma general, basta con transformar ésta  a su forma pendiente-intersección con y o su forma simétrica, puesto que en ellas los elementos son visibles.  

 

procedamos entonces con el siguiente ejemplo:

 

Hallar la pendiente m y la ordenada en el origen b de la recta   2y + 3x = 7

Ordenando:        3x +2y -7 = 0

procedimiento para su transformación:

 

procedimiento aplicando las ecuaciones :
 

 de la ecuación generar dada es fácil obtener los siguientes datos:

A= 3

B= 2

C=-7

Luego sustituyendo, tendremos:

 

 

EJERCICIOS PROPUESTOS:    


1.-  Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto:

 (1, 2) y tiene pendiente m = – 5

(0, 2) y tiene pendiente m = 3

(0, -3) y tiene pendiente m = -2

(0, 3) y tiene pendiente m = -4

 

2.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos:

 A(1,3)    y   B(2,-5)

A (2,-3)  y   B(4,-5)

A (-4,1)  y   B(3,-5)

A(7,0)    y   B(0,4)

 

3.- . Hallar la ecuación de la recta que tiene como abscisa 3 y ordenada -4 al origen, los puntos serian   (3,0)  y  (0,-4) respectivamente:

 

 

4.- Dada las siguientes ecuaciones en su forma general, determina la pendiente y la ordenada en el origen, transformando a su forma pendiente -intersección ó  aplicando directamente  las ecuaciones:

 

a)   8x+4y-1= 0

b)   3x-y+4= 0

c)    7x-y+5= 0

 



LA LINEA RECTA

LA RECTA

 

 

La definición  de una forma simple: es  la distancia más corta  entre  dos puntos.

Analíticamente: es una ecuación  lineal  ó  de primer grado con dos variables.

Una recta queda determinada completamente si se conocen dos condiciones por ejemplo, dos de sus puntos, un punto y su pendiente  etc…

 

DIFERENTES FORMAS DE EXPRESAR UNA RECTA

a)      Punto pendiente:

 La ecuación de la recta que pasa por el punto  P1 (x1 , y1)    y cuya pendiente sea m es:

 

 

b) Pendiente-ordenada en el origen:

La ecuación de la recta de pendiente m, y que corta al eje Y en el punto (0,b) siendo b la ordenada en el origen es :

 
 
 c) Dos Puntos o cartesiana:
 
La  ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 (x1 , y1) y P2 (x2 , y2) es

 

 

siempre que:

 

 

 

d) Simétrica:

 La ecuación de la recta que corta a los ejes coordenadas  X y Y en los puntos (a , 0) siendo a la abscisa en el origen  y (0 , b) siendo b la ordenada en el origen, siempre que   a ≠ 0 , b ≠ 0  respectivamente es:

 

donde:   

 

 

f) General:

Es una ecuación de primer grado en X y en Y que se representa como:

 

 

Donde A, B y C son constantes cualesquiera.

la pendiente de la recta escrita en esta forma es:

 
 

y su ordenada en el origen:

 

Pendiente y ángulo de inclinación de una recta.

Pendiente de una recta.  es la tangente de su ángulo de inclinación y la representaremos, por la letra m. así:  

  

 

Si   son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta,  la inclinación y pendiente de la recta es:

 

            

Ejemplo 1.

Hallar la pendiente (m) y el ángulo de inclinación (α) de la recta que une los  puntos (5, 9) y (-8,-4).

 

Sustituyendo los valores en la fórmula tenemos lo siguiente:

 

 

Por lo que la pendiente es:    m = 1      y   

 

el ángulo de inclinación es:    α = 45°                                                

 

y su gráfica será:

 

 

Fortalece tu aprendizaje con la siguiente actividad.

 

Encuentra  la pendiente m y el ángulo de inclinación  α de las rectas que unen los pares de puntos presentados a  continuación:

 

  a)   (-8,-4), (5, 9)                                                                        Sol: m=1      y     α=45°

  b)   (10,-3), (14,-7)                                                                     Sol: m=-1    y     α=135°

  c)   (-11, 4), (14,-7)                                                                     Sol: m=∞    y     α=90°

  d)   (8, 6), (14, 6)                                                                        Sol: m=0     y     α=0°

 

 

Punto Medio.

 

Las coordenadas del punto medio de un segmento rectilíneo, son el promedio de las abscisas y el promedio de las ordenadas de los puntos extremos de dicho segmento y se obtiene utilizando las siguientes fórmulas:

 

              

Ejemplo  1:  

 

Determinar  el punto medio del segmento formado por los puntos A (5,9)   y  B (-8,-4)

 

sustituyendo en las fórmulas anteriores hallaremos el valor de las coordenadas:

                            

                                  

Por lo que el punto medio se encuentra en las coordenadas: (-3/2, 5/2)

y su gráfica será la siguiente: